Control PI de una Columna de Destilación Binaria: Sintonización Sistemática
PI Control of a Binary Distillation Column: Systematic Tuning
Alan Martín Zavala Guzmán, Héctor Hernández Escoto*, Salvador Hernández Castro, Juan Gabriel Segovia Hernández
Universidad de Guanajuato – Guanajuato, Departamento de Ingeniería Química, Noria Alta s/n, 36050, Guanajuato, Gto. MEXICO
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hhee@ugto.mxResumen
En este trabajo se presenta la sintonización de controladores PI de una columna de destilación binaria. Se sigue una estrategia de asignación de polos estables a una dinámica lineal que describe la convergencia del sistema de control. La técnica que resulta depende de sólo dos parámetros que se relacionan directamente con el comportamiento oscilatorio y la velocidad de respuesta deseados, y sintoniza simultáneamente y sistemáticamente los dos controladores del sistema de control. Lo anterior reduce de forma considerable la actividad de prueba-y-error que típicamente se realiza. Vía simulación se ilustra el desempeño del sistema de control, mostrando que la técnica es una buena alternativa de sintonización.
Palabras Clave: Control PI, Columna de Destilación Binaria, Sintonización Sistemática, Sintonización por Asignación de Polos.
Abstract
This work addresses the tuning of PI controllers for a binary distillation column, following an approach of assigning stable poles to a linear dynamics that approximately describes the control system convergence. The resulting technique depends only two parameters, directly related with the desired oscillatory behavior and response velocity for the control system, and tunes the two controllers of the control system controllers in a simultaneous and systematic way. This technique substantially reduces trial-and-error activities on tuning this controller. Via simulation, the control system performance is illustrated, showing that this technique is a good tuning choice.
Keywords: PI Control, Binary Distillation Column, Systematic Tuning, Pole Assignment Tuning.
1. Introducción
La destilación es un proceso de separación que ofrece una forma efectiva para separar mezclas de líquidos y es el más utilizado en la industria química; sin embargo, tiene el inconveniente de ser un gran consumidor de energía, causando hasta el 50% del costo operativo de una planta (Van Diggelen y col., 2010), y debido a ello sigue siendo un objeto de estudio.
En el área de análisis dinámico y control de procesos, las columnas de destilación han sido analizadas bajo la aplicación de diferentes estrategias, desde aquellas que aplican controladores convencionales PID, hasta avanzadas que se basan en los modelos no-lineales de las columnas (Venkateswarlu y col., 1997; Van Diggelen y col., 2010; y referencias en ellos). Lo segundo mencionado supone una mayor efectividad en la operación automática de la columna que los convencionales; sin embargo, los controladores PID se han implementado de forma regular en la industria.
Considerando la implementación de controladores, se puede decir que los avanzados (o aquellos basados en modelos no lineales) anteponen cierta complejidad que requiere una mayor inversión en tiempo, equipo y personal que los convencionales. En la implementación de los convencionales, una vez establecida la configuración de control, la principal dificultad se tiene en establecer valores adecuados de sus ganancias. Para ello, se realizan procedimientos exhaustivos de “prueba y error”, que la mayor parte de las veces se apoyan en técnicas de tipo Ziegler-Nichols (Finco y Luyben, 1989).
Con base en la problemática mencionada, y que los controladores PID han mostrado un buen desempeño en la operación de columnas de destilación, en este trabajo se explora el seguimiento de una estrategia de sintonización hacia la obtención de una técnica sistemática de sintonización para columnas de destilación; en este caso, por una cuestión metodológica, se considera una columna de destilación binaria ideal.
2. La Columna de Destilación y su Sistema de Control
Se considera una columna de destilación de platos, de operación continua, para separar una mezcla binaria que entra con cierto flujo y con una condición de líquido saturado en cierto plato de alimentación (Figura 1). Para regular la operación de la columna se considera una configuración de control típica en el que la composición del líquido que sale del domo se controla con el reflujo, y la composición del líquido del fondo, con el vapor (Luyben, 1989).
Figura 1. Sistema de Control de la Columna de Destilación.
2.1. Modelo Matemático de la Columna de Destilación
El comportamiento de la columna de destilación está descrito por el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias, que resultan de un balance de materia y suponiendo un proceso ideal bajo las siguientes suposiciones: la volatilidad relativa de la mezcla es constante e igual en cada uno de los platos, los flujos de vapor y líquido a través de los platos de la columna son constantes en condiciones de estado estacionario, y los platos tienen una hidráulica lineal.
Donde
xD y xB es la fracción mol del componente más volátil (composición) en el líquido que sale del domo (destilado) y del fondo, respectivamente; xn son las composiciones del líquido en cualquier plato n. NT es el número de platos en la columna y NF se refieren al número del plato de alimentación. Mn es la masas de líquido en el plato n, Ln es el flujo del liquido que se derrama de la etapa n, y V es el flujo de vapor a lo largo de la columna. F es el flujo de alimentación a la columna, y z es la composición en la corriente de alimentación; R es el reflujo de la columna. yn es la composición del vapor, en el plato n, donde α es la volatilidad relativa. nL y nM son los valores de referencia del liquido derramado y la masa retenida en la etapa n, respectivamente, donde es la constante de tiempo hidráulico. D y B son las mediciones de composición en el destilado y en el fondo, respectivamente, que se suponen continuas y trivialmente son iguales a xD y xB.2.2 Controladores PI
En este caso tenemos un sistema donde el estado está definido por las composiciones en cada una de las etapas (
xB, …, xn, …, xD), las entradas de control por R y V, y las variables de salida por D y B, o lo que es lo mismo xB (1a) y xD (1e), y las potenciales perturbaciones del sistema son z y F. Se asume una medición instantánea de las salidas; aunque en la práctica esto no es posible, el ejercicio que aquí se realiza es para mostrar que un controlador PI puede funcionar, y es un primer ejercicio metodológico hacia el diseño de sistemas de control prácticosTomando una configuración típica de control, se considera que
xD se controlará con R y xB con V. Luego, los correspondientes controladores convencionales de tipo PI son:
Donde son las ganancias proporcional e integral de cada controlador. v se refiere a la desviación de cualquier variable v con respecto a su valor nominal (v). v , en el caso de las entradas se establece típicamente del diseño del proceso, y en el caso de las salidas son los valores deseados (set-point).
2.3 El Problema de Control
Como se puede ver, en este sistema de control ya se tienen establecidos los lazos de control y el tipo de controlador. Luego, el paso que resta en el diseño de este sistema de control es la sintonización de los controladores.
Entonces, el problema de control de este trabajo corresponde particularmente a encontrar de manera sistemática los valores adecuados de las ganacias, de tal manera que el sistema de control sea capaz de mantener o llevar las composiciones del destilado y del fondo a ciertos valores deseados ((xB,xD) → (XB,XD)), aún cuando se presenten perturbaciones (p. ej., zZ).
3. Sintonización
Siguiendo la técnica de asignar polos estables a cierta dinámica lineal para que ésta sea convergente, la estrategia se basa en una dinámica lineal que describa el comportamiento del sistema de control.
Primero, se propone describir de forma individual a través de una dinámica lineal de primer orden, la respuesta natural de cada una de las salidas del proceso con respecto a su entrada de control asignada:
La constante de tiempo (
x) y la ganancia estática (Kx) se identifican con base en la respuesta que se genera de x con el modelo de la columna (1) al aplicar un cambio de tipo escalón en u de 1% (Seborg, y col., 2004).Luego, a la Ec. (3) se le sustituye el controlador (2), generándose la siguiente dinámica lineal de segundo orden, para cada par entrada-salida:
Esta dinámica se supone que describe de forma aproximada el comportamiento de cada salida en el sistema de control. Como se puede observar, su peculiaridad es que sus polos se pueden asignar a través de los valores de las ganancias. De aquí, se puede delinear como estrategia de sintonización a la selección de ganancias que asignen polos estables a (4).
Para asignar los valores de las ganancias se toma como referencia la siguiente EDO de 2do. orden,
la cual es estable y de comportamiento caracterizado a través de sus parámetros (Stephanopoulos, 1984): R es la constante de tiempo y R es el factor de amortiguamiento.
El tiempo de asentamiento de esta dinámica
de referencia (5) y el de la respuesta del proceso (3) son,
respectivamente, 
; y si
se establece que tR
es una fracción de
tx
(tx
= (1/n)
tR),
R
se asocia con
x
a través de:
donde n se puede ver como el número de veces que la dinámica (5) es más rápida que la dinámica del proceso (3).
Se puede decir que si los coeficientes de la dinámica de convergencia (4) tiene los mismos valores de la dinámica de referencia (5), entonces (4) tendrá el mismo comportamiento estable de
(5), o lo que es lo mismo tendrá los mismos polos estables. Entonces, se igualan los coeficientes de (4) con los de (5), sustituyendo también (6), y las ecuaciones algebraicas resultantes se resuelven para las ganancias:
Se obtienen expresiones para dar valores a
las ganancias en términos del comportamiento natural del
proceso (a través de
x
y
Kx),
y quedando el mismo par de parámetros de sintonización (R,
n) para cada par
de ganancias de los controladores
.
Con base en (7), se propone el siguiente procedimiento de sintonización:
1: Identificar los parámetros (P, KP) para cada par entrada-salida.
2: Establecer un factor de amortiguamiento. Cabe mencionar que la determinación de R puede seguir varios caminos. Por ejemplo, si uno hace un ejercicio de minimización del ITSE con respecto a R de la dinámica de referencia (5), el valor resultante es de R = 0.7865. Por otra parte, si se realiza un ejercicio de determinar el valor de R para el cual el sobre-disparo no sobrepase el valor nominal de la salida más un 2%, el valor resultante es de R = 0.84125.
3: Calcular
para
un valor de
n1,
y probar el desempeño de
los controladores. Se apuesta que con este valor el sistema
de control convergerá.
4: Repetir el Paso 3 para valores mayores de n, si se quiere o requiere hacer más rápida la respuesta del sistema de control.
4. Desempeño del Sistema de Control
Para visualizar el comportamiento del sistema de control con las ganancias resultantes de la técnica de sintonización, se considera como banco de trabajo el caso presentado por Luyben (1989), que consiste en una columna de destilación binaria ideal con 20 etapas (100% eficientes), con una sola alimentación de líquido saturado de 100 mol/min en la etapa 10, con una composición de 0.55 en base al componente más volátil. Esta también considera una volatilidad relativa de 2, constante a lo largo de la columna. El reflujo es de 128 mol/min y el del vapor, de 178 mol/min. Con base en estas condiciones, la columna de destilación en su estado estacionario
alcanza una composición de domo de 0.992 y de fondo de 0.108. Estos valores se consideran como los nominales de operación; luego, el problema de control corresponde a mantener estos valores de salidas, manipulando reflujo y flujo de vapor, correspondientemente, aunque haya perturbaciones, por ejemplo, en la composición de la corriente de alimentación y/o en su flujo.
Con base en la respuesta a lazo abierto de esta columna a cambios de tipo escalón en las entradas, las constantes de tiempo y ganancias estáticas identificadas para cada para entrada-salida son:
Aplicando la Ec. (7), las ganancias de los controladores toman la siguiente forma:
Aquí se aprovecha para resaltar que las 4 ganancias dependen, todas, de sólo 2 parámetros de sintonización:
R y n. Y de esta forma, las 4 ganancias se determinan simultáneamente.Para ilustrar el desempeño del sistema de control se considera una perturbación en la composición de la alimentación de
0.03z es decir 0.52z. En la Figura 2 se muestra el comportamiento del sistema de control de la columna para diferentes valores de R con n = 1.
Figura 2. Comportamiento del sistema de control (n1, variación de R).
En esta Figura se puede notar que a menor R hay una respuesta más oscilatoria de xD y xB; aunque es menor el tiempo de convergencia. Se puede pensar que la oscilación no es conveniente en las entradas de control porque implicaría mucho “movimiento mecánico” en los equipos. Tomando en cuenta este último aspecto se eligió un factor de amortiguamiento de 0.84R.
En la Figura 3 se muestra el comportamiento del sistema de control con diferentes valores de n y un factor de amortiguamiento 0.84R. Se puede notar que a mayor n, menor es el tiempo de convergencia, pero mayor es el esfuerzo de control. Cabe mencionar que desde n = 1 se obtiene convergencia.
Figura 3. Comportamiento del sistema de control ( 0.84
R , variación de n).En la Figura 4 se compara el comportamiento del sistema de control con las ganancias dadas por Luyben (1989) y las ganancias obtenidas con una 0.84
R y n = 2. En la Tablas siguientes se comparan los valores de las ganancias.Tabla 1: Valores de ganancias de controladores PI
Tabla 2: Parámetros de sintonización equivalentes a las ganancias de Luyben (1989)
Figura 4. Desempeño del sistema de control: sintonización por Luyben (1989) vs sintonización por asignación de polos.
Se puede notar que bajo las ganancias dadas por Luyben, para regular la composición de fondo, el sistema de control se desempeña de mejor manera que bajo las ganancias dadas por asignación de polos, pero la técnica por asignación de polos da un mejor desempeño para controlar la composición de domo. De aquí, lo que se puede decir es que la técnica de asignación de polos provee ganancias adecuadas para el control de la columna. Por otra parte, si tomamos en cuenta un tiempo total de asentamiento (considerando tanto el del domo como el del fondo) los valores de ganancias dados por asignación de polos proveen un mejor desempeño que lo dado por las ganancias de Luyben. Lo anterior esta acorde con el valor de las ganancias: para controlar
xD, es mayor el valor de las ganacias por asignación de polos que las dadas por Luyben, pero es lo inverso en el controlador de xB. Y por otro parte, las ganancias de Luyben corresponden a un R mayor que el dado en la asignación de polos; entonces, el comportamiento en el sistema de control con las ganancias de Luyben es menos oscilatorio que el de las ganancias por asignación de polos.Finalmente, en la Figura 5 se muestra el desempeño del control de la columna de destilación a diferentes perturbaciones en la composición de alimentación de la columna ( 0.84
R y n = 2). Se puede observar que en el sistema de control se regulan las composiciones del destilado y fondo sin grandes problemas, aunque inherentemente los esfuerzos de control aumentan, pero los tiempos de convergencia, no de forma considerable.
Figura 5. Desempeño del sistema de control de la columna de destilación a diferentes perturbaciones en la composición de alimentación.
5. Conclusiones
En este trabajo se presentó una técnica de sintonización sistemática de controladores convencionales PI, para un sistema de control MEMS de una columna de destilación binaria. Mediante esta técnica se determinó de manera rápida los valores de las ganancias para obtener un desempeño convergente del controlador, lo que disminuye considerablemente la actividad de “prueba y error” en la sintonización. El desempeño de los controladores sintonizados con esta técnica se ilustró vía simulación para diferentes valores de perturbaciones, mostrando que es capaz de regular la columna de destilación sin mayores problemas.
Bibliografía
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